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Solução de sistemas de equações lineares
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Aula Extra: Quando resolver um sistema de equações em 21/05/21
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Aula Extra: Como resolver um sistema de equações em 21/05/21
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LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem ComputacionalSistemas Lineares (GA-032) - Representação em Espaço de Estados de Sistemas Lineares a Tempo ContínuoProf. Paulo Esquef www.lncc.br/~pesquef/GA032_4P21/ Objetivos/Programa 1) Apresentar o Representação em Espaço de Estados (REE) para Sistemas Lineares, com Múltiplas Entradas e Múltiplas Saídas (MIMO) a tempo contínuo. 2) Apresentar formas de obter a REE de um sistema linear, através do seu diagrama de blocos (vale para sistemas MIMO) e através da Equação de Diferenças que representa o sistema linear (caso SISO). 3) Apresentar a REE para Sistema Linear Variante no Tempo (SLVT) Homogêneo (entrada u(t) nula) e sua solução explícita para a Equação de Estado Homogênea (EEH), para um estado inicial não-nulo no instante t = t_0. 4) Definir a Matriz de Transição de Estados (MTE) para a EEH. 5) Apresentar expressões para as soluções explícitas de x(t) e y(t) da REE Homogênea em termos da MTE e do estado inicial não-nulo. 6) Definir o Conjunto Fundamental de Soluções (CFS) da EEH. 7) Definir a Matriz Fundamental de Soluções (MFS) da EEH. 8) Relacionar a MTE com a MFS. 9) Apresentar o Teorema da Sobreposição para a EE não-homogênea. 10) Obter a expressão explícita para a solução da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea, em função da Matriz de Transição de Estados (MTE), para SLVT MIMO Causal. 11) Obter a expressão explícita para a Resposta Impulsiva (RI) de um SLVT SISO Causal, através da solução explícita da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea e sua substituição na equação de saída. 12) Obter a Função de Transferência H(s) de SLIT SISO causal em função das matrizes A, B, C e D da REE. 13) Relacionar, no caso de SLIT SISO causal: o polinômio característico da equação de diferenças homogênea p(s), o denominador de H(s)=B(s)/A(s) irredutível e o determinante da matriz M(s)= (sI - A). 14) Apresentar o conceito de mudança de base no contexto de mudança de forma de implementação de um mesmo sistema. 15) Apresentar o conceito de Estabilidade Assintótica e o critério que a garante para SLIT MIMO. Minutagem:00:08 Motivações para a REE. 03:59 REE no caso geral de um sistema não-linear variante no tempo MIMO. 02:31 Alteração notação: x(t) é vetor de estados; u(t) é o vetor de entradas; n é a ordem da parte recursiva do sistema. 05:55 REE no caso de SLVT MIMO. 08:54 Diagrama de blocos da REE no caso de SLVT MIMO. 11:47 REE para SLITs MIMO e para SLITs SISO.. 13:44 Apresentação do teorema: todo SLVT SISO modelado por uma EDO de ordem R admite uma REE (não-única) de ordem R. 14:35 Obtenção de uma REE a partir de um diagrama de blocos de um SLVT MIMO. 20:59 Obtenção de uma REE da EDO (aumentada de ordem R=max(n,q)) que representa o SLVT SISO. 36:32 Estratégia de resolução da REE: encontrar solução explícita x(t) da equação de estado e substitui-la na equação de saída. 39:45 Solução da REE para SLVT Homogêneo MIMO. Existência e Unicidade valem. 41:37 Apresentação da definição conceitual da Matriz de Transição de Estados (MTE) e sua da expressão como a série de Peano-Baker. 43:19 Seleção de propriedades da MTE como Série de Peano-Baker. 46:37 No caso de SLVT, nem sempre vale usar as estruturas da solução de uma EDO escalar para o caso matricial. 52:38 Solução da REE para SLIT Homogêneo MIMO.
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LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional Sistemas Lineares (GA-032) - Representação em Espaço de Estados de Sistemas Lineares a Tempo Contínuo Prof. Paulo Esquef www.lncc.br/~pesquef/GA032_4P21/ Objetivos/Programa 1) Apresentar o Representação em Espaço de Estados (REE) para Sistemas Lineares, com Múltiplas Entradas e Múltiplas Saídas (MIMO) a tempo contínuo. 2) Apresentar formas de obter a REE de um sistema linear, através do seu diagrama de blocos (vale para sistemas MIMO) e através da Equação de Diferenças que representa o sistema linear (caso SISO). 3) Apresentar a REE para Sistema Linear Variante no Tempo (SLVT) Homogêneo (entrada u(t) nula) e sua solução explícita para a Equação de Estado Homogênea (EEH), para um estado inicial não-nulo no instante t = t_0. 4) Definir a Matriz de Transição de Estados (MTE) para a EEH. 5) Apresentar expressões para as soluções explícitas de x(t) e y(t) da REE Homogênea em termos da MTE e do estado inicial não-nulo. 6) Definir o Conjunto Fundamental de Soluções (CFS) da EEH. 7) Definir a Matriz Fundamental de Soluções (MFS) da EEH. 8) Relacionar a MTE com a MFS. 9) Apresentar o Teorema da Sobreposição para a EE não-homogênea. 10) Obter a expressão explícita para a solução da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea, em função da Matriz de Transição de Estados (MTE), para SLVT MIMO Causal. 11) Obter a expressão explícita para a Resposta Impulsiva (RI) de um SLVT SISO Causal, através da solução explícita da Equação de Estado (EE) Não-Homogênea e sua substituição na equação de saída. 12) Obter a Função de Transferência H(s) de SLIT SISO causal em função das matrizes A, B, C e D da REE. 13) Relacionar, no caso de SLIT SISO causal: o polinômio característico da equação de diferenças homogênea p(s), o denominador de H(s)=B(s)/A(s) irredutível e o determinante da matriz M(s)= (sI - A). 14) Apresentar o conceito de mudança de base no contexto de mudança de forma de implementação de um mesmo sistema. 15) Apresentar o conceito de Estabilidade Assintótica e o critério que a garante para SLIT MIMO.
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Nesta aula, introduzo o segundo tópico: Sistemas Lineares.
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Equações para Trabalho num sistema ,1° Lei da Termodinâmica
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LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem ComputacionalSistemas Lineares (GA-032) - Aula 3 - Equação de Diferenças - Parte 1Prof. Paulo EsquefNota. A aula foi gravada sem audiência. Objetivos/Programa:1) Apresentar o modelo de sistemas lineares variantes no tempo (SLVT) via Equação de Diferenças (ED). 2) Apresentar a construção de um diagrama de blocos que representa a ED do SLVT e a forma direta II e sua versão canônica (mínima). 3) Mostrar a existência da solução y(k) da ED do SLVT. 4) Apresentar um protocolo para obtenção da solução da ED Homogênea de um SLIT. 5) Apresentar a relação entre os modos naturais do SLIT e as raízes do polinômio característico da ED Homogênea. Minutagem: 00:08 Apresentação do modelo de sistemas lineares variantes no tempo via Equação de Diferenças (ED).07:00 Representação via diagrama de blocos: simbologia e operador atrasador unitário z^(-1).18:15 Forma Direta II da ED do SLVT20:28 Forma Direta II Canônica da ED do SLVT28:06 Existência da solução y(k) para a ED do SLVT. A necessidade de N condições iniciais bem definidas para resolver um sistema recursivo de ordem N.32:24 Cálculo da solução y(k) para k negativo.35:02 ED Homogênea do SLVT36:27 Apresentação/Demonstração do Teorema da Superposição: qualquer solução y(k) da ED do SLVT pode ser escrita como a soma de uma solução particular y_p(k) com a solução da ED Homogênea y_h(k) relativa a um conjunto de N condições iniciais (CI).40:17 Unicidade da solução y(k) da ED Homogênea de um SLVT. A demonstração da unicidade será feita para ED de SLIT. 40:56 ED de SLIT: Protocolo de obtenção da solução y_h(k) da ED Homogênea do SLIT de ordem N (parte recursiva).42:18 Obtenção do polinômio característico p(z) da ED Homogênea via o operador atrasador unitário z^(-1), z nos complexos.44:05 Modos naturais do SLIT e sua relação com as raízes do polinômio característico p(z).47:04 Construção da estrutura genérica da solução y_h(k), com base nas multiplicidades algébricas das raízes de p(z).53:46 Obtenção de y_h(k) em forma fechada, pela solução de um sistema de N equações lineares com N incógnitas (pesos dos modos de y_h(k)), uma vez conhecido um conjunto de N condições iniciais {y_h(k1), y_h(k2), y_h(k2),...,y_h(kN)} bem definidas. Como os pesos são únicos, y_h(k) também é única, o que garante a unicidade da solução.Pré-requisitosTer conhecimentos de: Álgebra linear, números complexos, funções e suas representações, sequências e séries.lps.lncc.br Material do curso de PDS: http://www.lncc.br/~pesquef/GA038_1p23/ senha material: formadejordanMaterial (módulos computacionais) de Sistemas Lineares http://lps.lncc.br/index.php/demonstracoes/ga032-3t17
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LNCC/MCTI - Programa de Pós-Graduação em Modelagem ComputacionalSistemas Lineares (GA-032) - Aula 3 - Equação de Diferenças - Parte 1Prof. Paulo EsquefNota. A aula foi gravada sem audiência. Objetivos/Programa:1) Apresentar o modelo de sistemas lineares variantes no tempo (SLVT) via Equação de Diferenças (ED). 2) Apresentar a construção de um diagrama de blocos que representa a ED do SLVT e a forma direta II e sua versão canônica (mínima).3) Mostrar a existência da solução y(k) da ED do SLVT.4) Apresentar um protocolo para obtenção da solução da ED Homogênea de um SLIT. 5) Apresentar a relação entre os modos naturais do SLIT e as raízes do polinômio característico da ED Homogênea. Minutagem: 00:08 Apresentação do modelo de sistemas lineares variantes no tempo via Equação de Diferenças (ED).07:00 Representação via diagrama de blocos: simbologia e operador atrasador unitário z^(-1).18:15 Forma Direta II da ED do SLVT20:28 Forma Direta II Canônica da ED do SLVT28:06 Existência da solução y(k) para a ED do SLVT. A necessidade de N condições iniciais bem definidas para resolver um sistema recursivo de ordem N.32:24 Cálculo da solução y(k) para k negativo.35:02 ED Homogênea do SLVT36:27 Apresentação/Demonstração do Teorema da Superposição: qualquer solução y(k) da ED do SLVT pode ser escrita como a soma de uma solução particular y_p(k) com a solução da ED Homogênea y_h(k) relativa a um conjunto de N condições iniciais (CI).40:17 Unicidade da solução y(k) da ED Homogênea de um SLVT. A demonstração da unicidade será feita para ED de SLIT. 40:56 ED de SLIT: Protocolo de obtenção da solução y_h(k) da ED Homogênea do SLIT de ordem N (parte recursiva).42:18 Obtenção do polinômio característico p(z) da ED Homogênea via o operador atrasador unitário z^(-1), z nos complexos.44:05 Modos naturais do SLIT e sua relação com as raízes do polinômio característico p(z).47:04 Construção da estrutura genérica da solução y_h(k), com base nas multiplicidades algébricas das raízes de p(z).53:46 Obtenção de y_h(k) em forma fechada, pela solução de um sistema de N equações lineares com N incógnitas (pesos dos modos de y_h(k)), uma vez conhecido um conjunto de N condições iniciais {y_h(k1), y_h(k2), y_h(k2),...,y_h(kN)} bem definidas. Como os pesos são únicos, y_h(k) também é única, o que garante a unicidade da solução.Pré-requisitosTer conhecimentos de:Álgebra linear, números complexos, funções e suas representações, sequências e séries.lps.lncc.brMaterial do curso de PDS:http://www.lncc.br/~pesquef/GA038_1p23/senha material: formadejordanMaterial (módulos computacionais) de Sistemas Lineareshttp://lps.lncc.br/index.php/demonstracoes/ga032-3t17
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